Arquímedes de Siracusa

Tomado de

http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3499

Nacido: 287 AC en Siracusa, Sicilia

Muerto: 212 AC in Siracusa, Sicilia

Arquímedes fue el matemático más grande de su época. Sus contribuciones a la geometría revolucionaron la materia y sus métodos anticiparon el cálculo integral 2 000 años antes de Newton y Leibniz. Fue también un hombre profundamente práctico que inventó una amplia variedad de máquinas que incluían poleas y el aparato de bombeo llamado el 'tornillo de Arquímedes'.

El padre de Arquímedes fue Fidias, un astrónomo. No sabemos nada más que este hecho sobre Fidias y lo sabemos porque Arquímedes nos da esta información en uno de sus trabajos, El Arenario. Un amigo de Arquímedes llamado Heracleides escribió una biografía suya pero tristemente este trabajo se perdió. Cómo se transformaría nuestro conocimiento de Arquímedes si este trabajo perdido se encontrase alguna vez, o incluso si se hallasen extractos en los escritos de otros.

Arquímedes fue un nativo de Siracusa, Sicilia. Algunos autores informan que visitó Egipto y allí inventó un dispositivo ahora conocido como el tornillo de Arquímedes. Este es una bomba, todavía usada en muchas partes del mundo. Es muy probable que, cuando era joven, Arquímedes estudiara con los sucesores de Euclides en Alejandría. Ciertamente, estaba completamente familiarizado con las matemáticas que se desarrollaron allí, pero lo que hace mucho más cierta esta conjetura, es que él conocía personalmente a los matemáticos que trabajaban allí y enviaba sus resultados a Alejandría con mensajes personales. Respetaba muchísimo a Conón de Samos, uno de los matemáticos de Alejandría, tanto por sus capacidades como matemático como por ser un buen amigo.

En el prefacio a De las espirales Arquímedes relata una divertida historia relativa a sus amigos de Alejandría. Nos cuenta que tenía el hábito de enviarles comunicación de sus últimos teoremas, pero sin dar pruebas. Aparentemente algunos de los matemáticos de allí habían reclamado los resultados como propios por lo que Arquímedes dice que en la última ocasión que les envió teoremas incluyó dos que eran falsos [3]:

... por lo que aquellos que reclaman descubrirlo todo, pero no producen pruebas de ello, pueden ser acusados de haber pretendido descubrir lo imposible.

Aparte de en los prefacios a sus trabajos, la información sobre Arquímedes nos llega de un número de fuentes tales como las historias de Plutarco, Livio, y otros. Plutarco nos cuenta que Arquímedes estuvo relacionado con el rey Hieron II de Siracusa (ver por ejemplo [3]:

Arquímedes ... en carta al Rey Hieron, del cual era amigo y pariente cercano...

De nuevo prueba de al menos su amistad con la familia del Rey Hieron II llega del hecho de que El Arenario estaba dedicado a Gelón, el hijo del Rey Hieron.

Hay, de hecho, bastantes referencias a Arquímedes en los escritos de la época de que él se había ganado una reputación en su propia época que pocos matemáticos de este periodo consiguieron. La razón de esto no fue el amplio interés en las nuevas ideas matemáticas, sino que Arquímedes había inventado muchas máquinas que se usaron como ingenios de guerra. Estos fueron particularmente efectivos en la defensa de Siracusa cuando fue atacada por los Romanos bajo el mando de Marcelo.

Plutarco escribe en su obra sobre Marcelo, el comandante romano, sobre cómo los ingenios de guerra de Arquímedes se usaron contra los romanos en el asedio del 212 A.C.

... cuando Arquímedes comenzó a emplear sus ingenios, el disparó inmediatamente contra las fuerzas de tierra toda suerte de proyectiles, e inmensas masas de piedra que cayeron con increíble ruido y violencia; contra lo cual ningún hombre pudo resistir; porque derribaban a todos aquellos sobre quienes caían a montones, rompiendo todas sus filas. Mientras tanto grandes postes empujaban desde las murallas los barcos y hundieron algunos mediante grandes pesos que dejaban caer desde encima de los mismos; otros los levantaban en el aire con una mano de hierro o un pico de ave como un pico de grulla y, cuando los habían colgado por la proa, y puesto de punta sobre la popa, los hundían hasta el fondo del mar; o bien los barcos, colgados por los ingenios de dentro, y hechos girar violentamente, eran arrojados contra las afiladas rocas que sobresalían de las murallas, con gran destrucción de los soldados que estaban a bordo de ellas. Un barco era frecuentemente levantado a gran altura en el aire (algo horrible de contemplar), y era sacudido de acá para allá, y se mantenía meciéndose, hasta que los marineros eran todos arrojados, cuando era arrojado en toda su longitud contra las rocas o dejado caer.

Arquímedes había sido persuadido por su amigo y pariente el Rey Hieron para construir tales máquinas:

Estas máquinas que [Arquímedes] había diseñado e inventado, no como asuntos de ninguna importancia, sino como simples pasatiempos de geometría; de conformidad con el deseo y demanda del rey Hierón, poco tiempo antes, que él se limitaría a practicar una parte de su admirable especulación en ciencia, y acomodando la verdad teórica a la percepción y el uso ordinario, atraer la apreciación de la gente en general.

Quizá sea triste que las máquinas de guerra fueran apreciadas por la gente de esta época en una forma en que las matemáticas teóricas no lo eran, pero se debería destacar que el mundo no es un lugar muy diferente al final del segundo milenio D.C. Otros inventos de Arquímedes como la polea compuesta también le aportaron gran fama entre sus contemporáneos. De nuevo citamos a Plutarco:

[Arquimedes] había constatado [en una carta al rey Hieron] que dada la fuerza, cualquier peso dado podría ser movido, e incluso se jactaba, nos cuentan, apoyándose en la fuerza de la demostración, de que si hubiese otra tierra, yendo a ella él podría mover esta. Hierón asombrado por esto, y suplicándole hacer bueno este problema por un experimento real, y mostrar algún peso grande movido por una pequeña máquina, él lo preparó en consecuencia sobre un barco de carga que estaba fuera del arsenal del rey, que no podría ser sacado del muelle sin un gran trabajo y muchos hombres; y, cargándolo con muchos pasajeros y una carga completa, sentándose él mismo bastante lejos, sin un gran esfuerzo, sino sólo agarrando el extremo de la polea en su mano y tirando de las cuerdas por grados, él tiró del barco en una línea recta, tan suave y uniformemente como si hubiese estado en el mar.

Sin embargo Arquímedes, aunque consiguió la fama por sus invenciones mecánicas, creía que las matemáticas puras eran la única profesión digna. De nuevo Plutarco describe bellamente la actitud de Arquímedes, aunque veremos más tarde que Arquímedes de hecho usó algunos métodos muy prácticos para descubrir resultados a partir de la geometría pura:

Arquímedes poseyó un espíritu tan alto, un alma tan profunda, y tales tesoros de conocimiento científico, que aunque estas invenciones le habían ahora aportado el renombre de estar por encima de la sagacidad humana, él todavía no se dignaría a dejar tras él ningún comentario o escrito sobre tales materias; sino, repudiando como sórdido e innoble todo el comercio de la ingeniería, y toda suerte de arte que se preste al mero uso y provecho, él depositó todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras en las que no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida; los estudios, la superioridad de los cuales sobre todas las otras es incuestionable, y en los cuales la única duda puede ser si es la belleza y grandeza de los sujetos examinados, o la precisión y coherencia de los métodos y medios de prueba, los que merecen más nuestra admiración.

Su fascinación con la geometría es bellamente descrita por Plutarco:

A menudo los criados de Arquímedes le llevaban a los baños contra su voluntad, para lavarle y ungirle, y aun estando allí, siempre estaba dibujando figuras geométricas, incluso en las mismas cenizas de la chimenea. Y mientras lo estaban ungiendo con aceites y dulces perfumes, con sus dedos dibujaba líneas sobre su cuerpo desnudo, hasta tal punto estaba fuera de si, y llevado a un éxtasis o trance, con el deleite que tenía en el estudio de la geometría.

Los logros de Arquímedes son bastante sobresalientes. Es considerado por la mayoría de los historiadores de las matemáticas como uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos. Perfeccionó un método de integración que le permitía encontrar áreas, volúmenes y áreas superficiales de muchos cuerpos. Chasles dijo que el trabajo de Arquímedes en la integración (ver [7]):

... dio origen al cálculo del infinito concebido y llevado a la perfección por Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz y Newton.

Arquímedes fue capaz de aplicar el método del agotamiento, que es el prefio de la integración, para obtener todo un rango de importantes resultados y mencionamos algunos de ellos en las descripciones de su trabajo citadas más abajo. Arquímedes también dio una precisa aproximación de π (el número Pi) que podía aproximar las raíces cuadradas con precisión. Inventó un sistema para expresar números grandes. En mecánica Arquímedes descubrió teoremas fundamentales concernientes al centro de gravedad de las figuras planas y los sólidos. Su más famoso teorema da el peso de un cuerpo inmerso en un líquido, llamado el principio de Arquímedes.

Los trabajos de Arquímedes que han sobrevivido son los que siguen. Sobre los equilibrios del plano (dos libros), Cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro (dos libros), Sobre las espirales, Sobre las cónicas y esferoides, Sobre los cuerpos flotantes (dos libros), Medidas de un círculo, y El Arenario. En el verano de 1906, J L Heiberg, profesor de filología clásica en la Universidad de Copenhague, descubrió un manuscrito del siglo X que incluía el trabajo de Arquímedes El método. Esto proporciona un destacable acercamiento a cómo Arquímedes descubrió muchos de sus resultados y discutiremos esto más abajo una vez que hayamos dado más detalles de lo que hay en los libros supervivientes.

El orden en que Arquímedes escribió sus libros no se conoce con certeza. Hemos usado el orden cronológico sugerido por Heath en [7] al relacionar estos trabajos a continuación, excepto para El Método que Heath ha situado inmediatamente antes de Sobre la esfera y el cilindro. El artículo [47] se fija en argumentos para un orden cronológico diferente de los trabajos de Arquímedes.

El tratado Sobre los equilibrios del plano parte de los principios fundamentales de la mecánica, usando los métodos de la geometría. Arquímedes descubrió teoremas fundamentales concernientes al centro de gravedad de las figuras planas y éstos se dan en este trabajo. En particular encuentra, en el libro 1, el centro de gravedad de un paralelogramo, un triángulo, y un trapecio. El libro segundo está dedicado íntegramente a hallar el centro de gravedad de un segmento de una parábola. En Cuadratura de la parábola Arquímedes halla el área de un segmento de una parábola cortado por cualquier cuerda.

En el primer libro de Sobre la esfera y el cilindro Arquímedes muestra que la superficie de una esfera es cuatro veces la de un gran círculo, halla el área de cualquier segmento de una esfera, muestra que el volumen de una esfera es dos tercios el volumen de un cilindro cincunscrito, y que la superficie de una esfera es de dos tercios la superficie de un cilindro circunscrito incluyendo sus bases. Una buena discusión de cómo Arquímedes pudo haber sido llevado a alguno de estos resultados usando los infinitesimales se da en [14]. En el segundo libro de este trabajo, el resultado más importante de Arquímedes es mostrar cómo cortar una esfera dada por un plano de forma que la razón de los volúmenes de los dos segmentos tenga una razón prescrita.

En Sobre las espirales Arquímedes define una espiral, da las propiedades fundamentales que conectan la longitud del radio vector con los ángulos a través del cual ha revolucionado. Da los resultados sobre las tangentes a la espiral al igual que halla el área de las porciones de la espiral. En el trabajo Sobre las cónicas y esferoides Arquímedes examina las parábolas de revolución, hpérbolas de revolución, y los esferoides obtenidos por la rotación de una elipse tanto sobre su eje mayor como sobre su eje menor. El principal propósito del trabajo es investigar el volumen de los segmentos de estas figuras tridimensionales. Algunos pretenden que hay una falta de rigor en la certeza de los resultados de este trabajo pero la interesante discusión de [43] lo atribuye a una reconstrucción moderna.

Sobre los cuerpos flotantes es un trabajo en el que Arquímedes establece los principios básicos de la hidrostática. Su más famoso teorema que da el peso de un cuerpo sumergido en un líquido, llamado el principio de Arquímedes, está contenido en este trabajo. El también estudió la estabilidad de varios cuerpos flotantes de diferentes formas y diferentes gravedades específicas. En Medición del Círculo Arquímedes muestra que el valor exacto de π se situa entre los valores 310/71 y 31/7. Esto lo obtuvo circunscribiendo e inscribiendo un círculo con polígonos regulares que tenían 96 lados.

El arenario es un destacable trabajo en el que Arquímedes propone un sistema numérico capaz de expresar números hasta 8 x 10⁶³ en notación moderna. Argumenta en este trabajo que este número es lo suficientemente grande para contar el número de granos de arena que podrían caber en el universo. También hay importantes notas históricas en este trabajo, ya que Arquímedes tiene que dar las dimensiones del universo para ser capaz de contar el número de granos de arena que podría contener. El constata que Aristarco ha propuesto un sistema con el Sol en el centro y los planetas, incluida la Tierra, girando a su alrededor. En los mencionados resultados sobre las dimensiones el expresa resultados debidos a Eudoxo, Fidias (su padre), y a Aristarco. Hay otras fuentes que mencionan el trabajo de Arquímedes sobre las distancias a los cuerpos celestes. Por ejemplo en [59] Osborne reconstruye y discute:

...una teoría de las distancias de los cuerpos celestes atribuida a Arquímedes, pero el estado corrupto de los números en el único manuscrito superviviente [atribuido a Hipólito de Roma, alrededor del 220 D.C] significa que el material es difícil de manipular.

En el Método, Arquímedes describió la forma en que descubrió muchos de sus resultados geométricos (ver [7]):

... ciertas cosas me quedaron claras por un método mecánico, aunque tenían que ser probadas por la geometría posteriormente porque su investigación por el método dicho no proporcionaba una prueba real. Pero esto es por supuesto más fácil, cuando hemos previamente adquirido, por el método, algún conocimiento de las preguntas, para suministrar la prueba que es encontrarla sin ningún conocimiento previo.

Quizás la brillantez de los resultados geométricos de Arquímedes esté mejor resumida por Plutarco, que escribe:

No es posible hallar en toda la geometría cuestiones más difíciles e intrincadas, o más simples y lúcidas explicaciones. Algunos atribuyen esto a su genio natural; mientras que otros creen que fue un increíble esfuerzo y trabajo el que produjo, según parece, fáciles y poco elaborados resultados. Ninguna cantidad de investigación tuya tendría éxito ateniéndote a la demostración, y con todo, una vez vista, crees inmediatamente que tu lo habrías descubierto; a causa del camino tan llano y tan rápido por el que te conduce a la conclusión requerida.

Heath añade su opinión a la calidad del trabajo de Arquímedes [7]:

Los tratados son, sin excepción, monumentos de exposición matemática; la revelación gradual del plan de ataque, la maestría ordenando las proposiciones, la estrica eliminación de todo lo que no es inmediatamente relevante para el propósito, la finalización del conjunto, son tan impresionantes en su perfección como para crear un sentimiento semejante al miendo en la mente del lector.

Hay referencias a otros trabajos de Arquímedes que ahora están perdidos. Papo (Pappus de Alejandría) refiere un trabajo de Arquímedes sobre los poliedros semi-regulares, el mismo Arquímedes se refiere a un trabajo sobre el sistema numérico que propuso en El Arenario, Papo menciona un tratado Sobre equilibios y palancas, y Teón menciona un tratado de Arquímedes sobre espejos. Las evidencias de de más trabajos perdidos se discuten en [67] pero la prueba no es totalmente convincente.

Arquímedes fue asesinado en el 212 A.C. durante la captura de Siracusa por los romanos en la Segunda Guerra Púnica después de que todos sus esfuerzos por mantener a los romanos en apuros con sus máquinas de guerra hubieron fallado. Plutarco relata tres versiones de la historia de su asesinato que habían llegado hasta él. La primera versión:

Arquímedes ... estaba ..., como cosa del destino, intentando resolver algún problema mediante un diagrama, y habiendo fijado su mente al igual que sus ojos en el objeto de su especulación, nunca notó la incursión de los romanos, ni que la ciudad era tomada. En su trance de estudio y contemplación, un soldado, llegándose inesperadamente a él, le ordenó seguir a Marcelo; lo que él declinó hacer antes de que hubiera resuelto su problema con una demostración, el soldado, enfurecido, sacó su espada y le atravesó.

La segunda versión:

... un soldado romano, corriendo hacia él con la espada en la mano, iba a matarle; y que Arquímedes, dándose la vuelta, encarecidamente le imploró que mantuviera su mano un poco más, que no podía abandonar lo que tenía entre manos mientras fuera dudoso e imperfecto; pero el soldado, sin conmoverse por su ruego, instantáneamente le mató.

Finalmente, la tercera versión que Plutarco había oido:

... cuando Arquímedes llevaba a Marcelo instrumentos matemáticos, discos, esferas, y ángulos, mediante los cuales la magnitud del sol podía medirse con la vista, algunos soldados le vieron, y creyendo que llevaba oro en una vasija, le asesinaron.

Arquímedes consideraba que sus logros más significativos eran aquellos referentes a un cilindro circunscribiendo una esfera, y pidió una representación de esto junto con su resultado de la razón de las dos, para ser inscrito en su tumba. Cicerón estuvo en Sicilia en el 75 A.C. y escribe cómo buscó la turba de Arquímedes (ver por ejemplo [1]):

... y la encontré toda cercada y cubierta con zarzas y matorrales; por lo que recordé ciertas líneas de epitafio inscritas, como había oido, sobre su tumba, que constataban que una esfera junto con un cilindro habían sido puestas sobre su tumba. Consecuentemente, tras mirar bien en los alrededores..., noté una pequeña columna elevándose un poco sobre los matorrales, en la que había una figura de una esfera y un cilindro ... . Se enviaron esclavos con hoces ... y cuando abrieron un pasaje hasta el lugar nos aproximamos al pedestal frente a nosotros; el epigrama era fácil de seguir con casi la mitad de las líneas legibles, mientras que la otra mitad se había borrado.

Es quizás sorprendente que los trabajos matemáticos de Arquímedes fuesen relativamente poco conocidos inmediatamente tras su muerte. Como Clagett escribe en [1]:

A diferencia de los Elementos de Euclides, los trabajos de Arquímedes no fueron ampliamente conocidos en la antigüedad. ... Es cierto que ... trabajos individuales de Arquímedes fueron estudiados en Alejandría, ya que Arquímedes fue a menudo citado por tres eminentes matemáticos de Alejandría: Heron, Papo y Teón.

Solo después de que Eutocio sacara ediciones de alguno de los trabajos de Arquímedes, con comentarios, en el siglo VI D.C. llegaron los importantes tratados a convertirse en más ampliamente conocidos. Finalmente, vale la pena señalar que la prueba usada hoy para determinar cúanto se aproximan al original las diversas versiones de sus tratados de Arquímedes, es determinar si han retenido el dialecto Dórico de Arquímedes.

Artículo por: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive